在宁静而充满魅力的星露谷中，每一位居民都拥有着自己独特的故事与性格，而玛鲁，这位博学多才、魅力四射的女性角色，更是以其深厚的学术底蕴和独立的个性赢得了众多玩家的喜爱。在游戏中，与玛鲁的互动会让玩家们做一道不算简单的数学题，那么下文中小编为大家列出了详细的解题过程与答案，希望能帮助到大家。
问题：圆的周长正以每分钟0.5米的速度增长。那么当半径为4米时，圆的面积变化率是多少?
答案：每分钟2平方米
以下是解题过程：
圆的周长 \( C \) 与半径 \( r \) 的关系为：\[lbk] C = 2\pi r \[rbk]根据题意，圆的周长正以每分钟0.5米的速度增长，即：\[lbk] rac{dC}{dt} = 0.5 ext{ m/min} \[rbk]我们需要求的是当半径 \( r \) 为4米时，圆的面积变化率。
圆的面积 \( A \) 与半径 \( r \) 的关系为：\[lbk] A = \pi r^2 \[rbk]首先，我们需要找到面积变化率 \( rac{dA}{dt}\)。
运用链式法则，我们可以写成：\[lbk] rac{dA}{dt} = rac{dA}{dr} \cdot rac{dr}{dt} \[rbk]已知：\[lbk] A = \pi r^2 \[rbk]对 \( r \) 求导：\[lbk] rac{dA}{dr} = 2\pi r \[rbk]接下来，我们需要求出 \( rac{dr}{dt}\)。
已知：\[lbk] C = 2\pi r \[rbk]对时间 \( t \) 求导：\[lbk] rac{dC}{dt} = 2\pi rac{dr}{dt} \[rbk]将 \( rac{dC}{dt} = 0.5 \) 代入上式：\[lbk] 0.5 = 2\pi rac{dr}{dt} \[rbk]解得：\[lbk] rac{dr}{dt} = rac{0.5}{2\pi} = rac{1}{4\pi} ext{ m/min} \[rbk]
现在我们有：\[lbk] rac{dA}{dt} = 2\pi r \cdot rac{1}{4\pi} = rac{r}{2} \[rbk]当半径 \( r = 4 \) 米时：\[lbk] rac{dA}{dt} = rac{4}{2} = 2 ext{ m}^2/ ext{min} \[rbk]
因此，当半径为4米时，圆的面积变化率是 \( 2 ext{ m}^2/ ext{min} \)。当半径为4米时，圆的面积变化率是每分钟2平方米。因此，答案是：当半径为4米时，圆的面积变化率是 2平方米每分钟。
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